Задачи о прямолинейном движении – одни из самых популярных в школьных тестах по физике и математике. В этой статье мы подробно разберём типичную задачу:
Велосипедист выехал из поселка в город и добрался туда за 4 часа, двигаясь со скоростью v км/ч. На обратном пути он ехал со скоростью v₂ км/ч. Требуется найти расстояние между поселком и городом, а также среднюю скорость за весь путь.
Помимо базового варианта, мы рассмотрим несколько распространённых модификаций: несколько велосипедистов, догоняющие друг друга, а также задачи с остановками.
Постановка задачи
Для решения нам нужны три величины:
- v₁ – скорость на пути из поселка в город;
- v₂ – скорость на обратном пути;
- t₁ – время в пути из поселка в город (в нашем случае 4 ч).
Необходимо найти:
- Расстояние S между пунктами;
- Общее время tₜ (в пути туда и обратно);
- Среднюю скорость vₛр за весь маршрут.
Основные формулы
Для прямолинейного равномерного движения справедливы формулы:
S = v·t – расстояние, пройденное при постоянной скорости.
t = S / v – время, затраченное на известный путь.
vₛр = (S₁+S₂) / (t₁+t₂) – средняя скорость за весь путь (сумма пройденных расстояний делиться на суммарное время).
Если путь туда и обратно одинаковый (S₁ = S₂ = S), формула средней скорости упрощается:
vₛр = 2·S / (t₁ + t₂) = 2·v₁·v₂ / (v₁ + v₂)
Эту формулу часто используют в задачах, где известны только скорости в обе стороны.
Как находить расстояние
Из известного времени t₁ = 4 ч и скорости v₁ получаем:
S = v₁·t₁
Если в условии указана только скорость на обратном пути (v₂), а v₁ неизвестна, то обычно её задают в условии (например, 12 км/ч) или просят найти её из дополнительных данных.
Решение типовой задачи
Условие
Велосипедист ехал из поселка в город 4 ч со скоростью 12 км/ч. На обратном пути он ехал со скоростью 16 км/ч. Найдите расстояние между поселком и городом и среднюю скорость за весь путь.
Шаг 1. Находим расстояние
S = v₁·t₁ = 12 км/ч × 4 ч = 48 км
Шаг 2. Находим время обратного пути
t₂ = S / v₂ = 48 км / 16 км/ч = 3 ч
Шаг 3. Находим среднюю скорость
Суммарное время tₜ = t₁ + t₂ = 4 ч + 3 ч = 7 ч;
Общее пройденное расстояние 2·S = 96 км;
vₛр = (2·S) / tₜ = 96 км / 7 ч ≈ 13,71 км/ч
Или, используя упрощённую формулу:
vₛр = 2·v₁·v₂ / (v₁ + v₂) = 2·12·16 / (12+16) = 384 / 28 ≈ 13,71 км/ч
Ответ
- Расстояние между поселком и городом – 48 км;
- Средняя скорость за весь путь – ≈ 13,7 км/ч.
Вариации задачи
Три велосипедиста, догоняющие друг друга
В типичном варианте условие выглядит так:
Первый велосипедист выехал из поселка со скоростью 13 км/ч. Через час после него из того же поселка выехал второй со скоростью 10 км/ч, а ещё через час – третий. Найдите скорость третьего, если он сначала догнал второго, а через 1 ч 30 мин – первого.
Решение:
- Обозначим скорость третьего как v₃ (км/ч).
- В момент, когда третий выехал, первый уже проехал 13 км, второй – 10 км.
- Пусть t₁ – время, за которое третий догонит второго. Тогда:
v₃·t₁ = 10·t₁ + 10 (разница в стартовом отставании 10 км).
Отсюда t₁ = 10 / (v₃ – 10). - Через 1,5 ч после догонки (т.е. через t₁ + 1,5 часа) третий догонит первого:
v₃·(t₁ + 1,5) = 13·(t₁ + 1,5) + 13 (отставание 13 км).
Подставляем t₁ и решаем уравнение, получаем v₃ = 15 км/ч.
Остановка на пути
Если на обратном пути велосипедист делает остановку длительностью τ часов, то общее время увеличивается:
tₜ = t₁ + t₂ + τ
Средняя скорость тогда будет:
vₛр = 2·S / (t₁ + t₂ + τ)
Задача с неизвестным временем
Иногда известны только скорости и расстояние, а время пути требуется найти. Пример:
Велосипедист проехал из поселка в город со скоростью 12 км/ч, а обратно – 16 км/ч. Сколько времени он провёл в пути?
Решение:
- Сначала находим расстояние: S = v₁·t₁. Но время t₁ неизвестно. Вместо него используем формулу средней скорости:
vₛр = 2·v₁·v₂ / (v₁ + v₂). - Если известна средняя скорость (например, 14 км/ч), то получаем уравнение:
14 = 2·12·16 / (12+16) → проверка корректности условий. - Для нахождения t₁ и t₂ используем:
t₁ = S / v₁, t₂ = S / v₂, где S может быть найдено из любого дополнительного условия (например, общий путь 96 км).
Практические примеры
Пример 1. Два пути с разными скоростями
Велосипедист проехал из поселка в город за 4 ч со скоростью 12 км/ч, а обратно – за 3 ч. Какова была его скорость на обратном пути?
Решение:
- Найти расстояние: S = 12 км/ч × 4 ч = 48 км.
- Обратный путь: v₂ = S / t₂ = 48 км / 3 ч = 16 км/ч.
Пример 2. Догоняющий велосипедист
Третий велосипедист выехал через 2 ч после первого, его скорость неизвестна. Он догнал первого через 2 ч 30 мин. Найдите его скорость, если первый ехал со скоростью 13 км/ч.
Решение:
- Отставание первого к моменту старта третьего: 13 км/ч × 2 ч = 26 км.
- Время догонки: t = 2,5 ч. Уравнение:
v₃·t = 13·t + 26 → v₃ = 13 + 26 / 2,5 = 13 + 10,4 = 23,4 км/ч.
Пример 3. Остановка 4 ч
На обратном пути велосипедист сделал остановку на 4 ч. Сколько времени в сумме он провёл в пути, если расстояние 48 км, скорости 12 км/ч и 16 км/ч?
Решение:
- Время туда: t₁ = 48 / 12 = 4 ч.
- Время обратно без остановки: t₂ = 48 / 16 = 3 ч.
- Общее время: tₜ = 4 + 3 + 4 = 11 ч.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
- Как проверить правильность найденного расстояния? Подставьте полученное значение в формулу S = v·t для обеих частей пути – результат должен совпадать.
- Можно ли использовать формулу средней скорости, если пути разной длины? Нет. Формула vₛр = 2·v₁·v₂/(v₁+v₂) работает только при одинаковых расстояниях туда и обратно.
- Что делать, если в условии указано время в минутах? Переведите его в часы (1 ч = 60 мин). Например, 90 мин = 1,5 ч.
- Как учитывать остановки? Добавляйте их длительность к общему времени пути, а в формуле средней скорости используйте суммарное время.
Задачи о велосипедисте, который едет из поселка в город за фиксированное время, позволяют отработать базовые навыки работы с формулами скорости, времени и расстояния. Ключевые моменты:
- Всегда записывайте известные данные (скорости, время, расстояния) в виде переменных.
- Применяйте формулу S = v·t для каждой части пути.
- Если требуется средняя скорость, используйте vₛр = (S₁+S₂)/(t₁+t₂) или её упрощённый вариант для одинаковых расстояний.
- Не забывайте переводить часы в минуты и наоборот, если условие задаёт разные единицы измерения.
Освоив эти принципы, вы сможете быстро решать как базовые, так и более сложные варианты задач с несколькими участниками, остановками и различными скоростями.
Дата публикации: 28 мая 2026 г.