Фраза «В 8 ч утра от пристани отошел теплоход» знакома каждому, кто когда-либо готовился к выпускным экзаменам по математике — ОГЭ или ЕГЭ. Именно с таких слов часто начинаются текстовые задачи на движение, которые вызывают затруднения у многих школьников. В этой статье мы подробно разберем, как правильно составлять математические модели, уравнения и решать подобные задачи шаг за шагом.

Основные понятия и формулы

Прежде чем переходить к разбору конкретных примеров, необходимо четко усвоить базовую терминологию и формулы. Любое движение по воде характеризуется тремя видами скоростей:

• Собственная скорость теплохода (или скорость в неподвижной воде), это скорость судна в стоячей воде (озере, пруду), где нет течения.
• Скорость течения реки — скорость, с которой вода перемещается относительно берега.
• Скорость по течению реки, собственная скорость плюс скорость течения.
• Скорость против течения реки, собственная скорость минус скорость течения.

Базовая формула пути остается неизменной:

S = v ⋅ t

Где S, расстояние, v, скорость, t — время.

Разбор типовой задачи: Два теплохода и разница во времени

Рассмотрим одну из самых популярных задач, основанную на предоставленных данных.

Условие задачи:

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 153 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно.

Решение:

Введем переменные. Пусть x км/ч — скорость первого теплохода (x > 0). Тогда скорость второго теплохода равна (x + км/ч.

Выразим время. Время, затраченное первым теплоходом на весь путь: 153/x часов. Время, затраченное вторым теплоходом: 153/(x + часов.

Составим уравнение. Известно, что второй теплоход вышел на 8 часов позже первого, но прибыли они одновременно. Это значит, что первый теплоход находился в пути на 8 часов дольше, чем второй. Следовательно:

153/x ⎯ 153/(x + = 8

Решим уравнение. Умножим обе части уравнения на x(x + 8), чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что x ≠ 0 и x ≠ -8):

153(x + ⏤ 153x = 8x(x +

153x + 1224 ⎯ 153x = 8x² + 64x

1224 = 8x² + 64x

Разделим обе части на 8:

153 = x² + 8x

x² + 8x ⏤ 153 = 0

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета или через дискриминант:

D = 64 ⎯ 4 ⋅ 1 ⋅ (-153) = 64 + 612 = 676

√D = 26

x₁ = (-8 + 26) / 2 = 9

x₂ = (-8 ⎯ 26) / 2 = -17

Анализ ответов. Скорость не может быть отрицательной, поэтому x₂ = -17 не подходит по смыслу задачи. Остается x = 9.

Ответ:

Скорость первого теплохода равна 9 км/ч.

Задачи на движение по реке со стоянкой

Другой частый тип задач — это круговые рейсы, когда теплоход идет по течению, затем стоит в пункте назначения, и возвращается обратно против течения.

Пример условия:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 52 часа после отплытия из него.

Пусть x км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда:

• Скорость по течению: (x + 4) км/ч
• Скорость против течения: (x ⏤ 4) км/ч

Время в пути по течению: 210 / (x + 4) часов.

Время в пути против течения: 210 / (x ⏤ 4) часов.

Общее время, затраченное на рейс, состоит из времени туда, стоянки и времени обратно: 52 часа. Стоянка равна 8 часам; Составим уравнение:

210 / (x + 4) + 8 + 210 / (x ⎯ 4) = 52

Перенесем 8 в правую часть:

210 / (x + 4) + 210 / (x ⎯ 4) = 44

Умножим обе части на (x + 4)(x ⏤ 4):

210(x ⏤ 4) + 210(x + 4) = 44(x² ⎯ 16)

210x ⏤ 840 + 210x + 840 = 44x² ⎯ 704

420x = 44x² ⎯ 704

Разделим на 4:

11x² ⏤ 105x ⎯ 176 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем корни. По смыслу задачи (скорость теплохода должна быть больше скорости течения, то есть x > 4), выбираем положительный корень. В подобных задачах ответ часто оказывается равным 22 или 25 км/ч (в зависимости от конкретных чисел). В данном случае, решив уравнение, мы получим x = 11 (один из корней), однако при подборе данных из реальных экзаменов чаще встречается ответ 22 км/ч. Главное — помнить алгоритм!

Секреты успешного решения задач на движение

1. Всегда составляйте таблицу. Таблица «Скорость ⏤ Время ⏤ Расстояние» помогает визуализировать данные и не запутаться в переменных.
2. Внимательно читайте условие. Ошибка в одну букву может стоить правильного ответа. Обращайте внимание на то, кто за кем отправился и на какой срок.
3. Проверяйте единицы измерения. Если скорость дана в км/ч, а время в минутах — обязательно переведите минуты в часы.
4. Не забывайте про ОДЗ (область допустимых значений). Скорость не может быть отрицательной, а скорость против течения не может быть меньше или равна нулю (иначе теплоход не сможет плыть против течения).
5. Помните про разницу времен. Фраза «В 8 ч утра отошел теплоход, а второй вышел за ним через 3 часа» означает, что первый находился в пути на 3 часа дольше, и его время записывается как t₁ = t₂ + 3.

Задачи на движение по воде могут казаться сложными из-за обилия текста и условий, но они подчиняются строгим и логичным правилам; Запомните базовые формулы, научитесь грамотно вводить переменные и переводить текстовые условия в математические уравнения — и никакой экзамен вам будет не страшен!