В этой статье мы подробно разберём типичную задачу из раздела «Задачи на движение», где два транспортных средства начинают движение из одного пункта в противоположных направлениях․ На примере автобусов покажем, как находить неизвестную скорость, используя простую формулу S = (v₁ + v₂)·t․ Кроме того, рассмотрим варианты задачи, типичные ошибки и рекомендации для учителей․
Содержание
- Формулировка задачи
- Теоретическая часть
- Пошаговое решение
- Проверка результата
- Варианты задачи
- Часто задаваемые вопросы
Задачи на движение – один из базовых блоков школьного курса математики (5‑9 классы)․ Они помогают ученикам понять взаимосвязь между тремя величинами:
- v – скорость (км/ч);
- t – время (ч);
- S – пройденный путь (км)․
В большинстве случаев используется простая линейная формула:
S = v·t (1)
Если два объекта движутся в противоположных направлениях, то расстояние между ними растёт со скоростью, равной сумме их скоростей:
S = (v₁ + v₂)·t (2)
Эта формула лежит в основе решения нашей задачи․
Формулировка задачи
Условие:
- Из одного города одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса․
- Скорость первого автобуса известна и равна 58 км/ч․
- Через 4 часа после начала движения расстояние между ними составляет 528 км․
- Необходимо найти скорость второго автобуса․
Теоретическая часть
Суммарная скорость при противоположном движении
Когда два тела движутся в разных направлениях, их относительная скорость – это сумма их индивидуальных скоростей:
v₍отн₎ = v₁ + v₂
Связь расстояния, времени и относительной скорости
Если известно время t и расстояние S между объектами, то относительная скорость вычисляется по формуле (2):
v₍отн₎ = S / t
Выражаем неизвестную скорость
Подставив известные величины, получаем:
v₂ = v₍отн₎ – v₁
Пошаговое решение
- Записываем известные данные:
- v₁ = 58 км/ч;
- t = 4 ч;
- S = 528 км․
- Находим относительную скорость:
По формуле (2):
v₍отн₎ = S / t = 528 км ÷ 4 ч = 132 км/ч
- Вычисляем скорость второго автобуса:
v₂ = v₍отн₎ – v₁ = 132 км/ч – 58 км/ч = 74 км/ч
- Ответ: Вторая автобус движется со скоростью 74 км/ч․
Проверка результата
Проверим, действительно ли при найденных скоростях расстояние через 4 ч будет 528 км․
- Суммарная скорость = 58 км/ч + 74 км/ч = 132 км/ч․
- Пройденный путь за 4 ч = 132 км/ч × 4 ч = 528 км․
Полученный результат совпадает с условием, значит решение верно․
Варианты задачи и дополнительные упражнения
Для закрепления навыков можно изменить параметры задачи:
- Изменить время t (например, 3 ч, 5 ч) и попросить найти неизвестную скорость․
- Задать расстояние S и известную скорость первого автобуса, а время оставить неизвестным – тогда ученики найдут t․
- Ввести третье транспортное средство, движущееся в том же направлении, что и один из автобусов, и рассчитать расстояния между всеми тремя объектами․
Пример альтернативного задания:
Из города одновременно в противоположных направлениях выехали автобус (v₁ = 65 км/ч) и грузовик․ Через 5 ч расстояние между ними составило 600 км․ Найдите скорость грузовика․
Часто задаваемые вопросы
- Почему мы складываем скорости, а не вычитаем?
- Потому что объекты удаляются друг от друга․ Их относительное движение – это движение друг от друга, а не навстречу․ Поэтому относительная скорость равна сумме индивидуальных скоростей․
- Можно ли решить задачу, используя только формулу S = v·t?
- Да, но нужно помнить, что v в этой формуле – относительная скорость, а не отдельная скорость одного из транспортных средств․
- Что делать, если в условии указано, что один из автобусов движется «в ту же сторону», а другой – «в противоположную»?
- Тогда относительная скорость будет разностью скоростей: v₍отн₎ = |v₁ – v₂|․ Формула (2) меняется соответственно․
Задача о двух автобусах, выехавших из одного города в противоположных направлениях, иллюстрирует базовый принцип работы с относительной скоростью․ Следуя простому алгоритму:
- Определяем известные величины (v₁, t, S);
- Находим относительную скорость v₍отн₎ = S / t;
- Вычитаем известную скорость из относительной, получая неизвестную v₂ = v₍отн₎ – v₁;
- Проверяем полученный результат․
Эти шаги позволяют быстро и без ошибок решить любую задачу того же типа, а также адаптировать её под более сложные условия․
Помните: главное в задачах на движение – правильно определить, движуться ли объекты навстречу друг другу или в противоположных направлениях, и соответственно выбрать сумму или разность скоростей․