Задачи на движение по реке — это классический раздел математики, регулярно встречающийся в заданиях ОГЭ (основного государственного экзамена). Одним из самых интересных и требующих внимания подтипов этих задач является поиск собственной скорости лодки, когда известна средняя скорость движения на всем пути (туда и обратно).

В данной статье мы подробно разберем популярную задачу, условие которой начинается со слов: «Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч…». Мы шаг за шагом построим математическую модель, составим уравнение и решим его.

Условие задачи

Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч. Лодка проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Теоретическая база: что нужно помнить

Прежде чем переходить к решению, вспомним несколько ключевых правил:

• Скорость по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки: V_{по теч.} = x + V_теч.
• Скорость против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки: V_{пр. теч.} = x ౼ V_теч.
• Средняя скорость на всем пути, это отношение всего пройденного расстояния к общему затраченному времени. Это не среднее арифметическое скоростей!

Пошаговое решение задачи

Пусть x км/ч — собственная скорость лодки (то есть скорость лодки в стоячей воде).
Скорость течения реки по условию равна 4 км/ч.

Тогда выразим скорости движения лодки:

• Скорость лодки по течению (от А до В): (x + 4) км/ч
• Скорость лодки против течения (от В до А): (x ⎼ 4) км/ч

Шаг 2. Выражение времени в пути

Обозначим расстояние между пристанями А и В как S км. Лодка совершает путь туда и обратно, следовательно, общее пройденное расстояние равно 2S.

Теперь найдем время, затраченное на каждый отрезок пути:

• Время на путь по течению: t₁ = S / (x + 4)
• Время на путь против течения: t₂ = S / (x ౼ 4)

Общее время, затраченное на весь путь туда и обратно:

t = t₁ + t₂ = S / (x + 4) + S / (x ⎼ 4)

Шаг 3. Составление уравнения

По условию задачи средняя скорость лодки на всем пути равна 6 км/ч; Используем формулу средней скорости:

V_ср. = (Весь путь) / (Все время)

Подставляем наши значения:

6 = 2S / (S/(x+4) + S/(x-4))

Шаг 4. Упрощение и решение уравнения

Замечаем, что расстояние S присутствует в каждом слагаемом числителя и знаменателя (при этом S > 0). Мы можем смело сократить дробь на S:

6 = 2 / (1/(x+4) + 1/(x-4))

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

1/(x+4) + 1/(x-4) = ( (x-4) + (x+4) ) / ( (x+4)(x-4) ) = 2x / (x² ౼ 16)

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

6 = 2 / ( 2x / (x² ౼ 16) )

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей:

6 = 2 * (x² ౼ 16) / 2x

Двойки сокращаются:

6 = (x² ⎼ 16) / x

Умножим обе части уравнения на x (x ≠ 0):

6x = x² ⎼ 16

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

x² ⎼ 6x ౼ 16 = 0

Шаг 5. Нахождение корней квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант:

D = b² ⎼ 4ac = (-6)² ⎼ 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100

x_1,2 = (6 ± 10) / 2

Получаем два корня:

• x₁ = (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8
• x₂ = (6 ౼ 10) / 2 = -4 / 2 = -2

Шаг 6. Анализ корней и выбор ответа

Мы получили два математических решения: 8 и -2. Однако скорость лодки не может быть отрицательной величиной (при x = -2 лодка не смогла бы плыть против течения, так как скорость x ౼ 4 была бы равна -6 км/ч, что физически невозможно в контексте задачи).

Следовательно, корень x = -2 является посторонним решением, не имеющим физического смысла.

Ответ

Собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

Аналогичная задача для закрепления

На экзаменах часто встречаются задачи с другими числовыми данными, но абсолютно идентичным алгоритмом решения. Рассмотрим еще один вариант из базы ОГЭ:

Условие:

Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Краткое решение:

1. Пусть x — собственная скорость лодки.
2. Скорость по течению: (x + 3); против течения: (x ⎼ 3).
3. Средняя скорость: 8 = 2S / (S/(x+3) + S/(x-4))
4. Сокращаем на S и приводим к общему знаменателю: 8 = 2 / (2x / (x² ⎼ 9))
5. Упрощаем: 8 = (x² ⎼ 9) / x
6. Получаем уравнение: x² ౼ 8x ⎼ 9 = 0
7. Корни уравнения: x₁ = 9, x₂ = -1.
8. Отбрасываем отрицательный корень.

Ответ: 9 км/ч.

Главное в задачах на среднюю скорость по реке — не путать среднюю скорость со средним арифметическим. Запомните главное правило: весь путь делится на всё время. Составление дробно-рационального уравнения с последующим сокращением на расстояние S — это самый надежный и универсальный способ решения подобных заданий, который гарантирует высокий балл на экзамене.