Задачи, в которых в 8 часов утра от одной или двух пристаней отправляются катера, теплоходы, лодки или другие суда, являются одними из самых популярных в подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике. Такие задачи позволяют проверить умение работать с формулами движения, относительной скоростью, а также правильно составлять и решать уравнения.

Основные типы задач

• Противоположные направления. Два судна отходят от одной пристани в разные стороны.
• Навстречу друг другу. Суда стартуют с разных пристаней и движутся навстречу.
• Опережение. Второе судно стартует позже, но быстрее и догоняет первое.
• Возврат к исходной точке. Суда уходят от пристани, проводят время в пути (например, ловят рыбу), а затем возвращаются.

Физико‑математическая модель

Для всех перечисленных вариантов используется базовая формула прямолинейного движения:

s = v·t, где s – пройденный путь (км), v – скорость (км/ч), t – время (ч).

Если два судна движутся встречными направлениями, их относительная скорость равна сумме скоростей:

v_rel = v₁ + v₂

Если же они движутся в одном направлении, относительная скорость – разность скоростей:

v_rel = |v₂ – v₁|

Эти простые соотношения позволяют быстро находить момент встречи, расстояние между судами в любой момент времени и время, необходимое для догоняющего судна.

Алгоритм решения типовой задачи

1. Внимательно прочитать условие и выписать известные величины (скорости, время старта, расстояние между пристанями).
2. Обозначить неизвестные величины (обычно x – искомое расстояние или время).
3. Определить направление движения судов и записать формулу относительной скорости.
4. Составить уравнение, используя s = v·t для каждого судна или для их относительного движения.
5. Решить полученное уравнение относительно x.
6. Проверить полученный ответ, подставив его обратно в исходные формулы.

Примеры решений

Задача 1. Два катера в противоположных направлениях

В 8 ч утра от одной пристани отъехали два катера в противоположных направлениях. Скорость каждого катера – 32 км/ч. На каком расстоянии они будут друг от друга в 10 ч утра?

Решение.

1. Время, прошедшее с 8 ч до 10 ч, равно t = 2 ч.
2. Каждый катер за это время проплывает s = v·t = 32·2 = 64 км.
3. Поскольку они плывут в противоположных направлениях, суммарное расстояние между ними равно S = 64 + 64 = 128 км.

Ответ: 128 км.

Задача 2. Два теплохода навстречу друг другу

В 8 ч утра с разных пристаней (расстояние между ними 210 км) отправились два теплохода. Первый движется со скоростью 48 км/ч, второй – 36 км/ч. Во сколько они встретятся?

Решение.

1. Относительная скорость: v_rel = 48 + 36 = 84 км/ч.
2. Время до встречи: t = rac{S}{v_{rel}} = rac{210}{84} = 2{,}5 ч.
3. Тогда встреча произойдёт в 8 ч + 2{,}5 ч = 10 ч 30 минут.

Ответ: в 10 ч 30 минут.

Задача 3. Опережение (догонка)

В 8 ч утра от пристани отправился катер со скоростью 30 км/ч. Через 1 час после него, в 9 ч, от той же пристани вышел второй катер со скоростью 38 км/ч. Через сколько часов после старта второго катера он догонит первый?

Решение.

1. К моменту старта второго катера первый уже прошёл s₁ = 30·1 = 30 км.
2. Относительная скорость (встречное движение в одном направлении): v_{rel} = 38 – 30 = 8 км/ч.
3. Время догонки: t = rac{s_1}{v_{rel}} = rac{30}{8} = 3{,}75 ч.

Ответ: 3 ч 45 мин после 9 ч (в 12 ч 45 мин).

Часто встречающиеся ошибки

• Неправильный выбор направления. При расчёте относительной скорости важно учитывать, движутся ли суда навстречу или в одном направлении.
• Забывание о задержке. Если в условии указано, что одно из судов стартует позже, необходимо учесть пройденный им путь до начала движения другого судна.
• Смешивание единиц. В задачах иногда встречаются скорости в км/ч, а время – в минутах. Перевод в одинаковые единицы обязателен.
• Неправильная проверка ответа. После получения результата стоит подставить его обратно в уравнения, чтобы убедиться в корректности.

Практические задания для самостоятельного решения

1. В 8 ч утра от одной пристани отправились два катера в противоположных направлениях. Скорость первого – 28 км/ч, второго – 34 км/ч; На каком расстоянии они окажутся друг от друга в 11 ч утра?
2. С двух разных пристаней, находящихся в 180 км друг от друга, в 8 ч утра вышли два теплохода со скоростями 45 км/ч и 55 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
3. В 8 ч утра от пристани отправился моторный катер со скоростью 20 км/ч. Через 30 минут после него, в 8 ч 30 мин, от той же пристани вышел более быстрый катер со скоростью 30 км/ч. Сколько времени понадобится второму катеру, чтобы догнать первый?
4. Рыболов в 5 ч утра вышел от пристани против течения реки со скоростью лодки 6 км/ч, а скорость течения – 2 км/ч. Через 1,5 ч он бросил якорь, провёл у него 2 ч, а затем вернулся к пристани. Сколько времени занял весь путь?

Задачи, начинающиеся фразой «В 8 ч утра от пристани отошли…», позволяют отработать базовые навыки работы с уравнениями движения, понять смысл относительной скорости и научиться быстро переводить условие задачи в математическую модель. Следуя простому алгоритму – выделить известные данные, ввести переменные, записать уравнение и решить его – вы сможете уверенно решать как типовые, так и более сложные варианты, встречающиеся в ЕГЭ и ОГЭ.

Помните, что практика делает мастера. Регулярно решайте похожие задачи, проверяйте ответы и анализируйте ошибки – и успех на экзамене будет гарантирован!